2014.03.28 教育及心理統計 (四) 多重比較

ANOVA

• 其虛無假設為組間平均值沒有差異，而檢定達顯著差異時，只表示「至少一組與其它組別有差異」，但未指出那些組別有所差異。
• 基於上述原因，於F檢定後執行多重比較可得到更細緻的結果；然重複多次比較將造成誤差增加而失去可信度。

多重比較

• 多重比較分為事前比較與事後比較，並且有各自的計算方式與策略。
• 事前比較
• multiple t-test最為簡單
• 特色為使用MSE作為母群變異的不偏估計，其使用MSE之自由度。
• Linear contrasts特色為當常數總和為零之狀況稱為linear contrasts
• 利用細數一致不同的方式排除組別，從而比較差異。
• Orthogonal contrasts有垂直正交的概念，換言之任二組乘積總和為零，表是SSbetween可以被拆成j-1個SS片段。(通常這些片段可能彼此重疊)
• Bonferroni t tests (Dunn's tests)特色為控制整體alpha不超過alpha，並且分配各別alpha到各組別間
• 其方式類似multiple t-tests，但Bonferroni t tests有控制alpha。
• Bonferroni的特色在於其可直接查表，相較於其他方法較容易執行。
• Bunn-Sidak test 同樣控制總alpha，結果與Bonferroni tests相似。
• Holm tests 長相類似t-test，特色為不同比較使用不同臨界值。
• 依序排列後與檢驗值比較。
• 目標為控制整體alpha。
• Holm相較於Bonferroni之CI更小，換言之更具power
• 事後比較
• Fisher's Least Significant Difference (LSD)
• 計算類似multiple t tests，差別在於LSD為事後檢定(於F-tests前後)
• 具爭議，未必建議使用
• Newman-Keuls test 須注意r定義為u-j+1，以此找尋不同臨界值
• 以共線與否呈現其是否有差異
• Tukey's honestly significant difference 特色為皆使用在pairwise comparisons(一對一比較)，而不使用complex comparisons(組合後比較)
• 使用於pairwise comparisons，則稱為Tukey's HSD tests
• 使用非pairwise comparisons則無法控制整體alpha，故建議改用其他方式
• 如果n不相等則為Tukdy-Kramer procedure
• 當變異數不同質，則可使用Behrens-Fisher approach，校正df
• 故Tukey可用在n不相等與變異數不同質，但計算繁瑣
• The Ryan Proceudre (REGWQ): Ryan/Einot/Gabriel/Welsch 考量修正alpha之效ˋ能
• Newman較保守，但power較差；Tukey較power但繁瑣
• Scheffe tests可用於各種contrasts，但可能過於保守造成難以顯著，故用上可能放寬標準為0.1
• 僅針對單組狀況下，Sceffe之CI較寬，較容易接受而保守 ?
• Dunnett's Test 
• 組平均與控制組平均比較，如差異大於臨界值則接受虛無假設
• 若n不同，則使用平均方式取代之
• Bonferroni與之比較，Dunnett's較為power。
• studentized Range Statistic (q) 表最小達成顯著的差異距離
• 適用於Newman、REGWQ及Tukey三種比較方式。
• Newman、Tukey、Scheffe及Dunnett's 均使用最小距離判斷是否達顯著
• Newman、REGWQ及Tukey使用q
• Scheffe使用(r-1)F
• Dunnet則使用查表td方式處理

Summary of multiple comparisons(參考比較表)

Holm, Newman and REGWQ使用不同的臨界值。

Scheffe之臨界值較高，故較為保守

多因子變異數分析 (Factorial design)  (ANOVA,≧2 independent variance)

• 多因子指有二個以上的獨立變項
• one-way ANOVA可用二度表格呈現，使用i,j描述其編碼與組別
• two-way ANOVA可直接延伸one-way的概念
• 將i定義為第二變項的編號
• 增加k定義為編碼數
• factor effects model增加各組間的關聯性比較
• three-way ANOVA
• i,j,k定義為變項編號
• l定義為所屬組別編碼
• cell mean model 共同影響+error
• factor effects model (共同影響+ab+bc+ac+abc)+error
  由此可見其推廣的規律性
• 操作紀錄
• 效果：各組平均與總平均之差
• 單一變項內之效果總合為0，表無主要影響
• interaction effect 
• 計算自cell mean / factor effect之計算合併調整而來
• 代表該格平均，扣除A、B變項平均，加上總平均
• 如推廣到abc,則為所在組平均，扣除A、B及C平均，加上AB、AC、BC平均，後再扣除ABC平均。
• 總交互作用之和為0
• 縱向總和為0
• 橫向總和為0
• 若沒有interaction effect,每一個皆為0
• 參考講義additive factor effects (加成性)
• two-way ANOVA之前提
• independence 
• normality 每一個細格有各自常態分配
• homogeneity of variance 每個細格有同質變異數
• model (同樣可分為cell mean, factor effect model寫法) /  參考講義之表格
• fix 二變項為固定, Ho:a1=a2=a3=0
• random 二變項隨機, H0:oa^2=0 
• mixed 一變項固定，一變項隨機 H0:a1=a2=a3=0
• effect
• main effect
• 無視另外一個變項之比較
• A效果: 無視B而比較A之變項組平均
• interaction effect 一因子是否受到另一因子的程度影響
• 繪plots圖，並且看線段有無交叉
• A main effect,無視B因素的平均是否改變
• B main effect,無視A因務的平均是否改變
• interaction effect,圖形是否交叉

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Note: Orthogonal contrasts 補充 

Orthogonal contrasts之條件有三：

一、各linear 係數總和為零。

二、任二linear係數相乘之總和為0。

三、若n組比較，可產生n-1組linear。

需同時符合上述三點方為嚴格定義之Orthogonal contrasts

Note2: q及距離整理

• 使用最小平均差判斷顯著與否者有:Newman, Tukey, Scheffe,REGWQ and Dunnet
• 其中Newman、REGWQ及Tukey使用q
• Scheffe使用(r-1)F
• Dunnet使用td

Note3:  r的意義

多重比較衝經常使用r作為查表的參數之一，然不同比較方式中r的意涵有所差異。

Newman的r代表組的差異修正值，即i-j+1

Tukey的r代表組數

Scheffe的(r-1)代表組數

Dunnett的r代表組數

Bronfernni的c代表比較次數(如3組任二二比較，則得C3取2=6)

Note4: 不同的比較方式有其alpha的大小與適用對象

適用於與控制組比較=> Dunnett's (for comparing all treatments with a control)