2014.04.18 教育及心理統計 多因子變異數分析(factorial design)

2 way ANOVA (以factor effect model討論)

• alpha代表效果，指組間平均數之差異。
• alpha A1為A1組平均與總平均的差異。
• alpha A2為A2組平均與總平均的差異。
• alpha A1B1則為該cell的數值，減去A組平均及B組平均，再加回總平均。
• 以此類推。
• 當H0發生時：
• alpha A的平均為零，代表沒有A的影響。
• alpha B的平均為零，代表沒有B的影響。
• 當alpha A的總和為零，且alpha B的總和為零
• 則所有alpha A的總和為零。

Assumptions

• 獨立
• 變異數同質
• 常態分配

Main effect and interaction

• main A effect表無視B因素，針對A1及A2組別的平均數是否有效果。
• main B effect表無視A因素，針對B1及B2組別的平均數是否有效果。
• interaction表一因子是否因另外一因子的不同水準而改變。
• 繪圖結果呈現交叉者，可判定其有interaction
• Disordinal interaction表圖形上直接可見交叉
• Ordinal interaction表圖形的延伸呈現交叉
• 無interaction則為平行線段

Sum of square

• Total SS表個別數值與總平均差異的平方總和
• 將此項目加入組平均再減去組平均，並拆為within和between二組
• Within SS又稱為error，表個別數值與組平均的平方總和
• Between SS又稱為treatment，表組平均與總平均數的平方總和

Sum of square in 2 way

• Total SS表個別數值與總平均的平方總和
• Total SS=SSbetween +SSwithin
• Between=SSA+SSB+SSinteraction
• main A effect為A各組平均與總平均差方總和
• main B effect為B各組平均與總平均差方總和

ANOVA table

• 依序算出SSA,SSB,SSAB,SSE
• 計算df
• 計算MSA,MSB,MSAB,MSE
• F=(  )/MSE
• 如果A,B皆為fixed，則F計算時分母使用MSE
• 如為random或mixed時，分母使用

手算公式

• [X}個別數值平方總和
• [T]總數平方/樣本數
• [A]A各組平方總和，除以該組人數
• [B]B各組平方總和，除以該組人數

ANOVA procedure

• ANOVA no significant=> done
• ANOVA significant=> 高階效果(interaction)
• interaction no significant=>multiple comparisons
• main A effect
• main B effect
• interaction significant=>simple (main) effect
• simple effect significant=> single comparison(作法同multiple comparisons)

2 way simple (main) effect

• 看某一因子在另一個音字不同水準下的效果
• 將因子獨立分開後審視，作法類似1 way ANOVA
• 其假定為至少一組平均值不同於其它組
• 如呈現顯著，則繼續行多重比較
• 因2-way ANOVA這個程序隸屬simple effect，故稱為simple comparisons
• 因其進一步檢驗各cell的關聯，故如Tukey所用的為細格人數n，而非總人數

alpha rate

• 多次比較造成alpha rate大，影響其可信度
• 分析alpha rate的來源
• experimental-wise (EW)：於比較過程中發生type I error的機率。
• family-wise (FW)：組別內發生type I error的機率。
• 1 way ANOVA: EW=FW
• 2 way ANOVA: EW=FWA+FWB+FWAB
• 建議控制FW為0.05，因控制EW會造成個別FW的數值過低

Power Analysis

• 1 way ANOVA
• 2 way ANOVA (fixed)
• 計算phi'
• phi alpha=phi'  alpha*根號nb
• phi beta=phi's beta*根號na
• phi alpha,beta=phi's alpha*beta*根號n
• 查表
• Power=1-查表結果

Effect size

• 1 way ANOVA
• eta square
• omega square
• 2 way ANOVA
• eta square <=延伸自1 way ANOVA，SSA/MStotal、SSB/MStotal、SSAB/MStotal
• omega square依A/B, fixed/random引用不同計算
• 可查詢講義附錄

model and MSE

• 依照所使用的model，其F檢定時所使用的分母有所不同
• 概念中分子相較於分母多出一個項目，而正比較此多出的項目大小
• fixed, random影響其比較對象 (factor effect model)

Repeated measures

• 2 factors的比較時
• 常態分配
• 樣本獨立=> ANOVA
• 樣本相依=> repeated measures
• between-subject variables
• 每一個獨立變項之每個水準所採用之受試者不同
• within-subject variables
• 同一個受試者在每個變項、每個水準下接受測試

Sources of variability

• Error
• measurement error
• control error 
• individual difference => repeated measures檢驗的內容
• Treatment 
• independent variable effect => ANOVA比較的內容

減少individual differences

• 配對法
• 但噁能無法顧慮所有變異來源
• 重複施測
• 去除individual differences
• 增加power (更容易顯著)
• 經濟、節省人力經費及時間
• 學習效應、間隔時間與能力變化
• 受試者疲勞
• 受測者消失影響甚大
• 不易滿足compound symmetry
• 平衡機制(介入順序調配)
• ABCD隨意排列
• 同一時間均有A-D，個體均接受A-D

assumptions

• independence
• normality
• Compound symmetry 變異數同質／共變數同質
• homogeneity of variance
• homogeneity of covariance
• sphericity/circularity是比compound symmetry更寬鬆的條件，只需遵從某些pattern即可，無須完全相等
• 共變矩陣：
• 對角為變異數
• 共變數: 二變項同時改變的程度(X↑Y↑;X↑Y↓)

Sum of square

• between subject,此指不同受測個體(與ANOVA不同)
• within subject,指單一個體變化
• Tx conditions
• error