2013.10.04 心理及教育統計(三)

心理及教育統計 (三)
Review ：描述統計，將數據整理後，用以解釋數據、呈現數據之方式。

• 表：常用如次數分配表，可列出單一分數，亦可使用分組方式表示，作法為將全距除以理想分組數(通常為5~15)，且開頭數字可被組距所整除。
• 圖：
• 長條圖：連續變項，則常條圖間直接相連；若為間斷變項，則為分開間隔。
• 莖葉圖：特點可看大致看出整理趨勢，並且可以看到個別分數細項，並容易觀察到界外值(兩個組距外之數值)。(特色為考題)
• 資料分配形狀：其中正偏、負偏依其尾巴所在而命名之。
• 數值
• 集中趨勢指標(理解個別特質)
• 中數
• 眾數
• 平均數
• 離散趨勢指標(最小平方特質，兩個minimal)
• 範圍相關(range)
• 平均數相關(center-based)

Today：

• 離散趨勢指標，可粗分為兩大類：
• 與範圍(range statistics)有關：
• 全距(range)
• 容易計算。
• 易受極端值影響。
• 若有界外值存在，容易誤導離散情況。
• 可用於順序、等距、比例資料。
• sample size大，其range也大。
• 沒有使用所有的資料(只使用最大最小值)。
• 不能用來作統計推論(因容易受極端值影響，並且只使用最大最小值)。
• 不是用於open-ended categories 以及undeterminalbe scores。
• 四分位距(interquartile range,IQR)：分別將資料切成四等分(25%,50%,75%)，其中50%即為中數(Mdn)。
• 唯一不受極端值影響的指標(其他都受影響，因其納入平均值)。
• 唯一可用於open-ended categories和undeterminable scores之離散趨勢指標。
• 可用於序列、等距與比例資料。
• 丟棄太多資料(省略太多資料)。
• H0spread為Q3-Q1之範圍。
• 半四分衛差(semi-IQR)為(Q3-Q1)/2，有25%之資料量。
• 與集中趨勢指標相關(center-based)：需先知道集中趨勢，方能計算。
• 平均差(似是而非)：概念為取得各別分數與平均數之差值，進而平均以描述分數分散之狀況，然而平均數之取得實際上為與所有分數最小距離總和之點，因此操作結果將使正負抵銷而必為0，故完全沒有功能可言。
• 平均絕對差：帶入距離之觀念，使用絕對值表達之。
• 特質：
• 容易了解。
• 使用所有資料。
• 不可用於open-ended categories and undeterminable scores(因平均數無法處理此狀態，且此項目與平均數相關，因而連帶無法處理)。
• 運算中有絕對值，過程複雜，不受青睞。
• 相較於標準差(standard deviation)，對極端值較不敏感(因SD經過平方與根號處理，仍放大了其差異)。
• 平均絕對差與中數絕對差：

• 平均絕對差：與平均數比較，取絕對值並加總平均而來。
• 中數絕對差：與中數比較，取絕對值並取中數而來(中數的中數)，可能誤解為對中數取平均數，因此須特別注意。
• 變異數(variance)：概念上是個別分數與平均差值平方之總和，
• 母群：其內部數據稱為參數，描述統計資料已知，因而不採用估計，自由度為N。
• 樣本：其內部數據稱為統計量、估計值，描述統計資料未知，需估計，故自由度為N-1，可視為花一個自由度估計平均數，換言之，一旦進行推論母群體之行為，即使用N-1為分母。
  P.s) 注意，
  S²
  使用於將樣本資料視為母群時，s
  ²則為使用樣本推論母群之變異數，而前者使用N，後者使用N-1。其中，
  

  S²
  是較少使用的類型。
• 自由度(degree of freedom, df)：以樣本推論母群時，樣本中可獨立或自由變化之個數，稱為自由度。
• 概念上，若計算n個項目之平均數，因有n個數字可能改變，因而自由度為n。
• 然而，假設已知平均數，當知道n-1個項目之數值時，最後一個變數已被固定(fixed)，所以自由度為n-1。
• 因推論時使用樣本平均值替代母群體平均值，因而母群體之影響數受限，故以N-1方式作為分母計算，此僅發生於推論時方出現。
• E(s2)=σ²，樣本變異數是母群變異數的不偏估計，概念上為反覆抽取樣本(抽後放回，稱為with replacement)並計算其平均數，結果與母群之變異數相等，然而如果使用S^2則不同。
• 標準差(standard deviation)：即為變異數取根號之結果。
• 使用所有數值，因需計算平均數。
• 易受極端值影響(因平均數特性)。
• 不可用於open-ended/undeterminable scores，因平均數無法。
• 可用於推論統計，因樣本變異數為母群變異數之不偏估計。
• 相較於平均絕對差，對極端值較為敏感(如有極端值存在，將造成標準差較大)。
• 樣本變異數為母群變異數之不偏估計。
  P.s) 計算公式：簡化之後，可使用手上型計算機完成之公式，然而其形態可能與原本的理念不同，因此解讀仍以原始的公式為主。
• 標準差特質：
  

  X	s	s2
  X±C	s	s2
  CX	s*C	C2*s2

• 變異係數(coefficient of variation, CV)：因其常用於兩族群之間的比較，因而又可稱為相對差異係數(coefficient of relative variation)。
• 表示標準差之大小站平均數之百分比。
• 通常使用於兩族群間的比較。
• 理論上而言，標準差越大者，其測驗之區分力應較佳，然而此受N之影響因而影響結果判讀，因此改以百分比方式可去除單位，從而有利於比較兩族群之能力。
• 轉換(transformation)：
• 加減：對集中趨勢指標而言，隨之加減；分散趨勢指標不變，分布型態不變(平移)。
• 乘以常數：集中趨勢指標乘以常數；分散趨勢指標乘以常數(注意變異數之平方)；分布型態相似(縮放)。
• 常數與加減(線性轉換)：資料點之間的相對位置不變。
  

  	XàX±b	XàaX	XàaX±b
  集中趨勢指標	C±b	aC	aC±b
  離散趨勢指標	no change	a*range variance*a2	a*range variance*a2
  分布型態	形狀尺寸不改變 (平移)	輪廓相似(縮放)	輪廓相似(平移&縮放)

• 箱形圖(boxplot/box-and-whiskers plot)：常見如政府之統計資料，其必然存有一個箱子本體之結構，而旁邊之線段有如貓鬚(whiskers)而得名。
• Q1,Q2,Q3 and H-spread(Q3-Q1)。
• Inner fense:
• upper fense=Q3+1.5 H-spread
• lower fense=Q1-1.5 H-spread
•  構成：
• 取得Q1.Q2.Q3，並且計算H。
• 取得Q1-1.5H；Q3+1.5H之範圍。
• 取得實際存在數值之最小數值(但不低於左極限)，此數值與Q1之距離為左鬍鬚。
• 取得實際存在數值之最大數值(但不高於右極限)，此數值與Q3之距離為右鬍鬚。
• 若超過極限者，視為極端值。
  
• 解釋：
• Q2與Q1和Q3之相對位置，可判斷資料對稱特性。
• 從左、右鬍鬚的長短，可看出其偏向趨勢。
• 亦可加上平均數，協助判斷之。
• 偏態(skewness)：三次方，計算公式以判斷其偏態。
• r=0為對稱，r>0為正偏，r<0為負偏。
• 手算公式：Skp=3(X-Mdn)/S
• -0.5 ≦S≦0.5
• S≧0.5正偏
• S≦0.5負偏
• 峰度(kurtosis)：四次方。
• r=0為常態，r>0為高峽，r<0為低闊。
• 公式中的-3，為校正標準值為0之原因。

Note：爭議之一為，眾數是否可用於open-ended categories /undeterminable scores的數據？

如結果出現於非此類別者，尚且無妨；然如果出現於該組，則可能引起爭議。

描述統計：相對地位指標/一個好的估計值之特色

相對地位指標(measure of relative position)：

• 目標：
• 想了解個體在團體中所佔之相對地位，或者程度為何。
• 比較來自不同兩個分配之分數。
• 相對地位指標：
• 百分等級(percentile rank,PR)
• 標準分數(standard score)
• 百分等級(PR)：
• 較適用於ordinal data，有三種方式計算之。
• 方法一：將分數排序，以及位置排序計算之，如共有15個數據，排序第六者為63%。
  15, 17, 22, 23, 27, 33(40%,6/15), 38, 41, 42, 43, 52, 58, 60, 66, 71
• 方法二：PR of (X=x)=100-(100*R-50)/N，其中R為高分排列至低分之名次，N則代表樣本尺寸，使用條件為知R與N，如若計算結果不是整數，則無條件捨去小數。此公式之假設，為將團體分為100等級，由N個人共同平分，並且將個人視為該分數群之中點，因而計算方式第R名應為100/N*R-100/2N個等級，但傾向分數高者排名前面，因而以100-上述內容所得。
• 方法三：PR=(100/N)*[F+(X-L)/h*f]，其中N為樣本尺寸，h為組距，X為任意分數，L為該分數所在組別之真正下限，f表該分數組別之次數，而F表L以下之累積。因需要較多資訊取得。可應用於組群分數，當不知道詳細數據之時使用之。
• 百分位數(percentile)：概念為，需要多少分數，方能落在特定百分等級內。
• Pth%=L+[(p/100)*N-F]*(1/f)，公式參數與上述相同。
• 與百分等級之比較，百分等級代表的是等第，而百分位數代表的是對應分數族群，為一體兩面之概念。
• 標準分數：當比較單位不同，或者來自不同測驗之分數，無法直接以分數大小比較結果，因此可轉換為Z分數比較之。
• Z Score：代表與平均數相差多少個標準差，Z=(X-Xbar)/Sx
• 以考試分數為舉例，如將所有科別分數加總，假設為各科別之單一分數等值，然而如使用Z score之加總，則可去除上述假設，可能呈現不同之結果。
• Sx與Sz的差別在於，其以誰為原始分數計算標準差。
• Z分數的特性為：
• Z分數之平均數必為0。
• Z分數之變異數與標準差必為1。
• Z分數的線性轉換：其實z本身之轉變，也為一種線性轉變(符合ax+b)。
• 平移、縮放，但型態不變。
• 應用：當轉換到不同團體時，需多少分數才能維持相同地位。
• 原團體：Xbar=75, S=15，X=93，Z=1.2。
• 新團體：Xbar=100,S=20,Z=1.2，X=124。
• 百分等級VS Z分數：
• 百分等級：
• 只使用ordinal 性質，不需計算平均數，因此門檻較低。
• 不複雜、相對容易了解。
• 用以描述個體在團體中相對位置。
• 用以比較兩組來自不同分配資料的相對地位。
• 指特定分數之分布百分比，無論實際分數大小。
• 只管其分部百分比，而不需知道其真實分數。
• Z分數：
• 只可用等距或者等比之數值。
• 較不容易了解，但具有科學性。
• 較精細的方式比較不同分配之資料。
• 屬於一種線性轉換，不會改變資料間的關係。
• 轉換之後，不會得到常態分配。
• 總表整理(必讀)

	XàX±b	Xàa*X	Xàa*X±b
Mean(平均)	X-bar±b	a*X-bar	(a*X-bar)±b
Mdn(中數)	Mdn±b	a*Mdn	(a*Mdn)±b
Mo (眾數)	Mo±b	a*Mo	(a*Mo)±b
Range(全距)	R	a*R	a*R
IQR(四分位距)	IQR	a*IQR	a*IQR
Q1	Q1±b	a*Q1	(a*Q1)±b
MAD(平均絕對差)	MAD	a*MAD	a*MAD
S2(變異數)	S2	a2* S2	a2* S2
SD(標準差)	SD	a*SD	a*SD
百分等級	no change	no change	no change
偏態	no change	no change	no change
峰度	no change	no change	no change
分布圖形	no change	no change	no change