2013.11.01 心理及教育統計(六) 機率及二項分配

Today： 二項分配是第二的所學的分配(第一個是常態分配)

機率(probability)：某事件發生的可能率。

• 介於0~1之間，不可能為負值。
• 所有的機率總和為1。

事件(event)：可觀察到的狀況，包含一種或者多種結果(outcome)。

• 當抽取機率對等公平時：將事件為分子，所有狀況為分母。
• 當抽取機率不對等不公平時：將個別機率加總分類，或者使用其他方式判讀(往往這種類別，會自行提供機率)。

樣本空間(sample space)：所有可能事件的集合，包含有所可能發生的事件。

• 以骰子為例，投擲一次骰子，樣本空間則為一次骰子的結果，點數1~6。

互斥事件(mutually exclusive events)：當兩事件彼此互斥，則一事件發生時另外一事件不可發生。使用相加律(additive law)。

• 代表兩件事情的交集為空交集，也就是互不包含彼此。
• 如果A、B互斥，P(AUB)=P(A)P(B)，表其機率無交集。
• 如果A、B不互斥。P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)。

獨立事件(independent events)：兩事件獨立，則一事件的發生不影響另一事件的發生。使用相乘律(multiplicative law)。

• 代表兩件事情交集的部分，為個別機率之乘積，因其彼此互不影響。
• 如果A、B獨立，則P(AnB)=P(A)*P(B)。
• 如果A、B不獨立，則牽扯條件機率。

完全事件(exhaustive events)：包含所有可能的事件。

• 獨立一個事件，包含所有結果的意思，同選擇題之以上皆是。
• 如小學，存在一個事件包含1~6年級；如大學，存在一個包含1~4年級的事件。

聯合機率(joint probability)：兩事件同時發生的機率，可以A&B的概念理解。

• 考慮兩事件本質是否獨立，如果為獨立，則將機率彼此相乘即可；如若不獨立，則以條件機率處理之。

條件機率(conditional probability)：P(A|B)表在B的條件之下，A發生的機率為多少，以given描述之。

• 定義：P(B|A)=P(AnB)/P(A)，也就是事件A成立的情況下，B事件出現的機率。
• 通常條件機率的數值較大，因其縮小了分母的大小(如男生&大一男生的比率)。

邊際機率(marginal probability)：同時考量兩個以上的向度，聚焦於某一向度的機率。

• 以collapse(壓縮)，描述聚焦於特定向度發生的機率。

貝氏定理(Bayes Theorem)：當知道P(A|B)的情況下，推論P(B|A)的狀況。

• P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)，推倒過程簡述如下，自條件機率起始。
• P(A|B)=P(A&B)/P(B)
• P(B|A)=P(B&A)/P(A)
• 結合上二：P(A|B)*P(B)=P(A&B)=P(B|A)*P(A)
• 同除P(B)：P(A|B)=P(A&B)/P(B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
• 可利用條件機率進行調整，應用其定義公式。
• 雖其只討論A、B兩事件，但可以再將其中的A分為A1~A3。
• 概念上，P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)，也可以使用複雜公式無妨。
• 如果再將A切為A1,A2以及A3，則狀況會變成：
• P(A1|B)=P(B|A1)*P(A1)/P(A1)*P(B|A1)+P(A2)*P(B|A2)+P(A3)*P(B|A3)。
• 反向操作可以將 B切為B1和B2，則狀況會變成：
• P(B1|A)=P(A|B1)*P(B1)/P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)*P(B2)。

機率分配(probability distribution)：各事件機率的分配圖表。

• 若資料為連續變項，所出現的分配會呈現曲線樣式(參考之前對於分布的指標、描述)，且特定點的機率實質不存在，因其連續可再細分(3=2.95~3.05)。
• 若資料為間斷變項，其分配是長條狀描述，可描述特定點的機率(因為斷點而非範圍。

排列組合(permutation&combination)：

• 排列：以P為代號，計算方式為Pa取b=a!/(a-b)!，意義為自a個元素中抽取b個進行排列之可能性，換言之，從a個元素中抽取b個，然後將此b個元素進行排列之所有可能數。
• 如在A,B,C,D四個元素中，抽取兩個元素進行排列：
• 此為P4取2之情況，計算方式4!/2!=4*3=12。
• 自4個元素中抽取兩個，再任意排列：C4取2*2!=4!*2!/2!*2!=12。
• 組合(C)：以C為代號，計算方式為Ca取b=a!/b!*(a-b)!，意義為自a個元素中抽取b個元素，共有多少種配對方式。
• 如在A,B,C,D四個元素中抽取兩個元素之組合：
• C4取2=4!/2!2!=6。
• AB,AC,AD,BC,BD,CD，此六種可能。
• 因此，P與C之間，實際上差異在於有沒有順序(重複)之問題，也就是有沒有除去r!的狀況。

Bernoulli Trials ：建立於隨機變數的模型上，提出一個Yes/No question的試驗方式，其結果僅為兩互斥事件的試驗。
(P.s) 舉例而言，如硬幣掉落後是人頭朝上嗎？ 剛出生的小孩是女生嗎？ 一個人的雙眼是綠色的嗎？

• 定義事件的成功率為p，則失敗率為1-p=q。
• E(X)=p；變異數為p*q。
• 以X~B(N,P)的方式描述，其中N代表執行次數，P代表平均值或稱成功率。

二項分配(binomial distribution)：間斷型的分配，以間隔長條的分配方式呈現，建立於僅二結果的試驗中。

• 二種結果：如正/反、通過/不通過、人頭/數字(銅板)...etc。
• 透過一連串的Bernoulli Trials所得的結果。
• 重複執行Bernoulli trials N次，則E(X)=NP，平均數為Npq。
• 特色：
• P=0.5的情況下，呈現對稱分配。
• 如果P>0.5會呈現負偏；P<0.5呈現正偏。 
• 應用：
• X~B(N,P)，其中E(X)=P，Var.=NPq。
• 將之Z化，計算其Z與alpha之比較是否能拒絕H0(Z檢定)。
• 常態逼近法(normal apporx.)：當N很大的時候，直接使之成為Np/Npq...
• X~B(30,0.6)==N(Np,Npq)==N(18,7.2)，平均數為18、變異數為7.2之常態分配，因此可與之比較。
• 概念上，當N夠多的時候Bernoulli trials可視為常態分配之前提，以常態分配方式去計算結果。
  note：Z定義有兩種，一種是數值與母群比較，另外一種是樣本平均數與母群平均數之比較，兩者個SD描述不同。
• 附註：normal approximation的判斷條件。
• 當p=0.5時，n>20或者25可視為常態分配。
• 當p=0.1 (0.9，正負偏)，n>100以上方能呈現常態。
• 通則(general rule)：當p不接近0.5，Npq(Var.)>9，方可使用常態分配假設。
• 附錄2：校正公式
• Z=(|X-Np|-0.5)/根號Npq。
• 其目標為縮小非連續的差異，實質上可做可不做。