2013.11.08 心理及教育統計(六) 機率

機率

隨機變數：

• 定義：一個隨機實驗，其中對應樣本點(實數值)的函數符合某種機率結構。
• 無論投擲一個或者兩個色子，即使知道點數對應的理論機率多高，投擲之前我們都無法知道到底會投出幾點，因此：
• 此兩種擲骰子的活動，稱為隨機實驗。
• 可能出現的點數，即為這個實驗的實數值、實驗結果。
• 表達：
• 以大寫英文代表隨機變數，並以集合方式描述可能出現的實數值。
• eg. X={1,2,3,4,5,6}。
• 以小寫英文代表某次實驗的真實結果。
• eg. x=6。
• 以函數f(x)代表特定實驗中，某個實數值對應到的機率。
• eg. f(6)=1/6。
• 以函數F(x)代表隨機變數累加的機率函數。
• eg. F(X=3)=P(X≦3)=f(1)+f(2)+f(3)=3/6。
• 種類：
• 變項數量：一元、二元、多元隨機變數。
• 依照變數類型：
• 間斷隨機變數：隨機變數的實數值為有限，或者為無限但可數的，則視為間斷隨機變數，如次數、個數。
• 其f(x)又稱為機率質量函數(probability mass function)。
• 其定義範圍在0≦f(x)≦1，且各長條總合為1。
• 連續隨機變數：隨機變數的實數值為無限且不可數的，稱為隨機變數，通常以區間方式表現，如營業收入、路段的長度、絕對溫度。
• 其f(x)又稱為機率密度函數(probability density function)。
• 其定義範圍為f(x)≧0，且曲線下面積總和為1。
• P.s) 其背後的機率分配，也依循其分類，有間斷分配與連續分配的分別。

白努力試驗(Bernoulli trails)：

• 定義：只有兩種可能發生的試驗，如成功/失敗、有/無。

二項分配(binomial distribution)：觀測N個獨立的白努力試驗，每次成功的機率設定為p，又以X代表總成功次數，可得一個機率函數。

• 函數： P(X)=CN取X*(p)^X*(1-p)^(N-P)

超幾何分配(hypergeometric distribution)：一個有限的母體，總數為N，其中包含m個特定(成功)元素，今以抽出不放回的方式抽取n個樣本，定義X成功個數，則X的機率分配為超幾何分配。

常態分配(normal distribution)：統計中常用的分配，呈現鐘形且對稱。

卡方分配(chi-squire)

所有可能的事件，唯一隨機變數的實數值，則事件發生的機率就可用該隨機變數的機率函數來求得，此正式透過查表而得知p-value的意義。

而定義alpha之決策標準，搭配p-value觀測事件發生的機率，作為傳統假設檢定的基礎。

Excel：

• 儲存格格式會依據資料格式進行處理。
• 增益集的分析工具，可做簡單的統計處理。
• $的應用方式(check it)。

R： 為一種程式語言兼數學統計軟體。

• 免費且自由應用。
• 可針對程式語言進行修改。
• 可套用到多種作業系統。
• 可與其他程式語言結合。
• 強大繪圖功能。

P.s) 樣本數越大時，抽樣分配的結果越靠近母群分配，而樣本平均數之抽樣分配趨近常態，且變異數將受樣本大小分割。

SPSS：

• 可套用多種作業系統。
• 豐富統計程式套件。
• 輕鬆繪製統計圖表。
• 點選操作介面(亦可輸入語法)。

note：觀念部分，須清楚知道，單純的抽樣分配，樣本數提升的時候會使其分配趨近於母群體的樣式，而其平均數抽樣分布才會趨近常態分配。
note2：注意到四分位差的意思，乃Q1與Q3之差值，且須注意此標記的取得方式，若為奇數則取中間數，若為偶數則為該位置的平均，因此當分數調整與此平均位數相關的時候，仍會影響到四分位距的大小。